充分条件

“充分”二字让我想到Kotoha的一首歌，《それで充分だよ》，官方的英文名是That’s Enough，直译过来就是“这样就足够了”。


        

        

Kotoha是日本的一位ACG女歌手，热度不错，声音甜美，所以也是我比较喜欢的歌手之一。


放到数学逻辑里，“充分”的核心含义也是足够、有它就行。


标准定义




若由条件$p$可以推出结论$q$，记作$\boldsymbol{p\Rightarrow q}$，我们就说：$p$是$q$的充分条件。




简单来说，只要有$p$这个条件，就完全足够推出$q$，不需要其他额外的条件。（做题造句口诀）


举例说明
设条件$p$：$a=1$且$b=2$
结论$q$：$a+b=3$


推导过程：
$\because a=1,\quad b=2 $
$\therefore a+b=3$


只要满足“$a=1,b=2$”，就必然能得到“$a+b=3$”，条件充分、足够。
因此：$a=1$且$b=2$是$a+b=3$的充分条件。


必要条件
标准定义




若由结论$q$可以推出条件$p$，记作$\boldsymbol{q\Rightarrow p}$，我们就说：$p$是$q$的必要条件。




换句话说，要想让结论$q$成立，条件$p$是必须具备、缺一不可的前提；但光有它，还不足以推出结论，还得拉上别的条件才行。（做题仅用这句理解，就够了）


举例辨析
我们把刚才的推导因果倒置：
已知$a+b=3$，能不能推出$a=1$且$b=2$？


显然不成立。比如$a=0,b=3$、$a=1.5,b=1.5$，都满足$a+b=3$，但并不满足$a=1,b=2$。
这说明：“$a+b=3$”不足以推出“$a=1,b=2$”，因此它不是充分条件。


但换个角度看：如果连$a+b=3$都不满足，那$a=1,b=2$就绝对不可能成立。


因此，对于$a=1,b=2$来说，$a+b=3$是必要且非充分的。


也就是说，“$a+b=3$”是“$a=1,b=2$”必须满足的前提，是必要条件。


充要条件
充分条件和必要条件两个概念，它们既不是相反也不是否定，因为它们之间有交集，举例：
设条件$p$：$\triangle ABC$的两个底角相等
结论$q$：$\triangle ABC$是等腰三角形
很明显，$p\Leftrightarrow q$，所以$p$，$q$任意一方都是另一方的充分条件和必要条件，简称$p$，$q$互为充要条件。


“当且仅当”语句
含有“当且仅当”的真命题本质蕴含充要条件。


例如，高中比较重要的基本不等式，若 $a>0,b>0$
$$\boxed{\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}}\quad(\text{当且仅当 }a=b\text{ 时取等号})$$


即：
$$a=b \iff \sqrt{ab}=\frac{a+b}{2}$$


常用还有：
$$a^2+b^2\ge 2ab\quad (a,b\in\mathbb R,\text{ 当且仅当 }a=b\text{ 取等号})$$


对于基本不等式，可推广至均值不等式。
推广1 二元平均数链，$a,b>0$
$$\frac{2}{\dfrac1a+\dfrac1b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\quad (\text{当且仅当 }a=b\text{ 时取等})$$


从左到右依次为调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数





推广2 三元平均数链，$a,b,c>0$
$$\frac{3}{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c}\le \sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}\quad(\text{当且仅当 }a=b=c\text{ 时取等})$$


推广




逻辑关系
条件类型





$p\Rightarrow q$且$q\nRightarrow p$
$p$是$q$的充分不必要条件，$q$是$p$的必要不充分条件




$p\nRightarrow q$且$q\nRightarrow p$
$p,q$互为既不充分也不必要条件




$p\Leftrightarrow q$
$p,q$互为充要条件





必刷题（慢滑）
题目：下列“若$p$，则$q$”的命题中，$q$是$p$的什么条件？


    

  1. 若$x^2=4$，则$x=2$
    

    解：
    判断双向推出关系
    

      

    • $p\Rightarrow q$？
      由$x^2=4$可得$x=2$或$x=-2$，因此$x$不一定等于$2$，即$p\nRightarrow q$，必须强调$x$是正数（额外条件）才能得到$x=2$；
      

      • 

    • $q\Rightarrow p$？
      当$x=2$，必有$x^2=4$，即$q\Rightarrow p$。
      

      • 

    

    根据定义：$q$是$p$的充分不必要条件。
    

    

    2. 






    

  1. 若$x>3$，则$x>1$
    

    解：
    判断双向推出关系
    

      

    • $p\Rightarrow q$？
      由$x>3$，一定可以得到$x>1$，即$p\Rightarrow q$；
      

      • 

    • $q\Rightarrow p$？
      取$x=2$，满足$x>1$，但是不满足$x>3$，因此由$x>1$推不出$x>3$，即$q\nRightarrow p$。
      

      • 

    

    根据定义：$q$是$p$的必要不充分条件。
    

    

    2. 






    

  1. 若两个三角形全等，则两个三角形面积相等
    

    解：
    判断双向推出关系
    

      

    • $p\Rightarrow q$？
      两个三角形全等，则对应边长、高全部相等，面积必然相等，即$p\Rightarrow q$；
      

      • 

    • $q\Rightarrow p$？
      面积相等的两个三角形不一定全等，只需要保证底乘高相等即可，即$q\nRightarrow p$。
      

      • 

    

    根据定义：$q$是$p$的必要不充分条件。
    

    

    2. 






    

  1. 若$x,y$都是偶数，则$x+y$是偶数
    

    解：
    判断双向推出关系
    

      

    • $p\Rightarrow q$？
      偶数加偶数仍然为偶数，因此由$x,y$都是偶数可以推出$x+y$是偶数，即$p\Rightarrow q$；
      

      • 

    • $q\Rightarrow p$？
      举反例：$x=1,y=3$，此时$x+y=4$为偶数，但$x,y$都不是偶数，即$q\nRightarrow p$。
      

      • 

    

    根据定义：$q$是$p$的必要不充分条件。
    

    

    2. 






    

  1. 若$|x|=1$，则$x=1$
    

    解：
    判断双向推出关系
    

      

    • $p\Rightarrow q$？
      由$|x|=1$可得$x=1$或$x=-1$，因此$x$不一定等于$1$，即$p\nRightarrow q$，必须增加额外条件$x>0$，才能够推出$x=1$；
      

      • 

    • $q\Rightarrow p$？
      当$x=1$，一定满足$|x|=1$，即$q\Rightarrow p$。
      

      • 

    

    根据定义：$q$是$p$的充分不必要条件。
    

    

    2.